ワードプレスを動かす為に、サーバーにPHPという機能が必要になります。ほとんどのレンタルサーバーにはインストールされていますので、ワードプレスが動かないという事はあまりありません。
ただPHPにもバージョンというものがあり、古いバージョンのPHPですと、セキュリティに問題があったり、新しい機能が使えなかったりするので、可能な限り新しいバージョンのPHPを利用する事を推奨します。
また新しいバージョンを利用することで、セキュリティだけでなくWEBページの表示が高速になりますので、古いバージョンのPHPをそのまま使い続ける理由はありません。

ほとんどのレンタルサーバーでは、サーバーのコントロールパネル（管理画面）からバージョンの切り替えができますので、最新のバージョンに変更するだけです。

古いプラグインや、構築から時間の経つテンプレートの場合PHPのバージョンを上げるとエラーを起こすことがあります。その場合はプラグインをアップデートするなどの対応をすれば、問題が解消できる可能性は高いです。
エラーが生じた場合は、古いバージョンに戻せばいいだけなのですが、古いバージョンを使い続けることはお勧めできません。WEBサイトを制作した制作会社さんなどに相談してみてください。

2019年9月現在、最新のPHPのバージョンは7.3.xです。特に5.xのバージョンが未だに利用されている事も多く見かけますが、お早めに切り替る事をお勧めします。